Để có thể tìm m để ma trận khả nghịch, chúng ta phải hiểu ma trận khả nghịch là gì? Trong đại số tuyến tính, một ma trận được xem là khả nghịch hay ma trận không suy biến được hiểu là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận. Thứ nhất, ma trận đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n, trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử bằng 0. Tính chất của ma trận đơn vị là với mọi ma trận vuông cùng cấp AE = EA = A.
Thứ hai, ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó. Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A’ cùng cấp n sao cho AA’ = A’A = E. Khi đó, A’ được coi là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
Giải dạng bài tìm m để ma trận khả nghịch
Các khái niệm cơ bản
Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho: AB = BA = En.
En là ma trận đơn vị cấp n.
Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa mãn điều kiện (1) là duy nhất, B là ma trận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận A, ký hiệu A(-1)
Vậy ta luôn có: A.A(-1) = A(-1).A = En
Các tính chất
A khả nghịch A không suy biến (deltA khác 0)
Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB) – 1 = A(-1)B(-1)
Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
- Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức
Đầu tiên, các bạn cần nhớ lại lý thuyết phần bù đại số của một phần tử. Coi A là ma trận vuông cấp n, nếu ta bỏ đi dòng i, cột j của A, ta được ma trận con cấp n – 1 của A, ký hiệu M(ij). Khi đó, A(ij) = (-1)(i+j) det Mij gọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.
Dưới đây là hình ảnh ma trận
Gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A
Ta có công thức sau đây để tìm ma trận nghịch đảo của A
Cho A là ma trận vuông cấp n
Nếu det A = 0 thì A không khả nghịch (tức A là không có ma trận nghịch đảo)
Nếu det A khác 0 thì A khả nghịch
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
Giải
Ta có:
Vậy A khả nghịch.
Nhận xét: Nếu bạn sử dụng định thức để tìm ra ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cấp n, ta phải tính một định thức cấp n và n^2 định thức cấp n – 1. Việc tính toán như vậy gây khá nhiều phức tạp khi coi n>3.
Vì vậy, ta thường áp dụng phương pháp này khi n nhỏ hơn bằng 3. Khi n lớn hơn hoặc bằng 3, ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Thứ nhất, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dựa vào các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)
Để tìm được ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông cấp n, ta lập ma trận cấp nx 2n
[A|En]
En là ma trận đơn vị cấp n.
Sau đó, các bạn dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận [A|En] về dạng [En|B]. Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A, B = A^(-1)
Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi, nếu khôi bên trái xuất hiện dòng gồm toàn số 0 thì ma trận A không khả nghịch.
VD: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
Giải
Như vậy bài viết hôm nay đã hướng dẫn các bạn cách giải bài toán dạng tìm m để ma trận khả nghịch. Bên cạnh đó chúng ta cũng đã được ôn lại những kiến thức lý thuyết gồm khái niệm và các tính chất của ma trận. Hy vọng qua bài viết hôm nay các bạn đã củng cố lại một phần kiến thức của dạng toán ma trận khả nghịch. Chúc các bạn ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong những kỳ thi sắp tới nhé
